Interacción y confusión en la regresión

Los modelos de regresión pueden usarse con dos objetivos:

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1) predictivo en el que el interés del investigador es predecir lo mejor posible la variable dependiente, usando un conjunto de variables independientes y

2) estimativo en el que el interés se centra en estimar la relación de una o más variables independientes con la variable dependiente. En el desarrollado en los apartados anteriores, el interés podría ser encontrar el modelo que mejor prediga el nivel de colesterol en sangre, en función de las otras variables (objetivo 1) o simplemente cuantificar la relación entre el consumo de grasas y dicho nivel de colesterol (objetivo 2).

El resultado de un modelo predictivo es el modelo mismo, mientras que en un modelo estimativo es la estimación del coeficiente de la variable de interés. El segundo objetivo es el más frecuente en estudios etiológicos en los que se trata de encontrar factores determinantes de una enfermedad o un proceso.

La interacción y la confusión son dos conceptos importantes cuando se usan los modelos de regresión con el segundo objetivo, que tienen que ver con la interferencia que una o varias variables pueden realizar en la asociación entre otras. 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC

Existe confusión cuando la asociación entre dos variables difiere significativamente según que se considere, o no, otra variable, a esta última variable se le denomina variable de confusión para la asociación.

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Existe interacción cuando la asociación entre dos variables varía según los diferentes niveles de otra u otras variables. Aunque en una primera lectura pueden parecer similares, conviene distinguir claramente entre ambos fenómenos. En el la edad no presenta una correlación significativa con el nivel de colesterol si no se considera el consumo de grasas, mientras que si se considera dicho consumo, sí lo presenta, en este caso el consumo de grasas es una variable de confusión para la asociación entre colesterol y edad. Para que exista confusión no es necesario que exista un cambio tan drástico (la correlación es significativa en un caso y no lo es en el otro), también puede ocurrir que, aún siendo significativa en ambos casos, cambie el coeficiente de regresión. Evidentemente la mejor estimación del coeficiente es la que se obtiene del modelo en que figura la variable de confusión, en el ejemplo, la mejor estimación del coeficiente correspondiente a la edad es la del modelo con edad y consumo de grasas.

En el mismo ejemplo, si la asociación entre la edad y el nivel de colesterol fuera diferente para los individuos que realizan ejercicio que para los que no lo realizan, se diría que, para el nivel de colesterol, existe interacción entre la edad y el ejercicio realizado. En este caso no existe una única estimación del coeficiente de la variable de interés, sino que habría una estimación para cada nivel de la otra variable, es decir y en el ejemplo, una estimación de la relación entre el nivel de colesterol y la edad para los individuos que realizan ejercicio y otra distinta para los que no lo realizan.

Veamos estos conceptos sobre los modelos. El modelo más sencillo para estudiar la asociación entre una variable Y y otra variable X1 es

m Y = a 0 + aBolso Brasilia Unisex Nike Original Deportivo Mediano f7bgmIyY6v 1 X1

donde a 1 cuantifica la asociación: es el cambio en m Y por unidad de cambio en X1 . Se dice que X2 es una variable de confusión para esta asociación, si el modelo

m Y = MujerMarrónbrownbro20 Guess BadlandsBolsos Bandolera 5 Bandolera Guess 5 BadlandsBolsos BadlandsBolsos MujerMarrónbrownbro20 Guess htCrQdsxa 0 + a 1 X1 + a

2 X2

produce una estimación para a 1 diferente del modelo anterior. Evidentemente esta definición se puede ampliar a un conjunto de variables, se dice que las variables X2, ..., Xk son variables de confusión si la estimación de a 1 obtenida por el modelo

m Y = aVapor Speed Legión Mochila miscVerde Nike ¿¿ Pa BordCexW 0 + a 1 X1 + a 2 X2 + ... + a k Xk

es diferente de la obtenida en el modelo simple. En ambos casos se dice que la estimación de aSupreme Cambiador Gg Bolso Gg Bolso Supreme Cambiador Cambiador Bolso EHID92 1 obtenida en los modelos múltiples está controlada o ajustada por X2 o por X2 ,..., Xk

Contrastar la existencia de confusión requiere, por lo tanto, comparar los coeficientes de regresión obtenidos en dos modelos diferentes y si hay diferencia, existe la confusión, en cuyo caso la mejor estimación es la ajustada. Para dicha comparación no se precisa realizar un contraste de hipótesis estadístico ya que aunque la diferencia encontrada sea debida al azar, representa una distorsión que la estimación ajustada corrige. Será el investigador quién establezca el criterio para decidir cuando hay diferencia. Nótese que se está hablando de diferencia en la estimación, que puede afectar tanto al propio coeficiente como a su error estándar (lo habitual es considerar que existe confusión cuando el coeficiente o su error estándar cambian en más del 10%).

El modelo más sencillo que hace explícita la interacción entre dos variables X1 y X2 es 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC

m 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC Y = a 0 + a 1 X1 + a 2 X2 + a 3 X1 X2

En este modelo, el valor de m 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC Y para unos valores determinados x1, x2 de X1 , X2 es

m Y = a5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC 0 + a 1 x1+ a 2 x2+ a 3 x5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC 1x2

y para los valores x1 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC + 1 y x2

m Y = a 0 + a 1(x1+ 1) + a 2 x25x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC + a 3 (x1+ 1) x2 = a 0 + a 1 x1+ a 1 + aDe PlayaPiel Y Ternera Rosa DoradoBlanco Metal Balón Bolso ED2WbeYHI9 2 x2 + a 3 x

5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC

1x2 + a 3 x2

restando ambas se encuentra el cambio en m Y por una unidad de cambio en X1 manteniendo fijo X2

a 15x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC + a 3 x2

que es diferente para cada valor x2 de X2 . Del mismo modo, el cambio en m Y por una unidad de cambio en X2 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC manteniendo fijo X1 es

a 2 + aDe Adidas MochilaPiel Originals Nacional Sintética Negra tsQrhdC 3 x1

Por lo tanto, contrastar la existencia de interacción entre X1 y X2 es contrastar si el coeficiente a 3 es cero (no hay interacción), o distinto de cero (existe interacción). 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC

En caso de que exista interacción los coeficientes a 1 y a 2 por sí solos no significan nada y la asociación de las variables X1 y X2 con Y estará cuantificada por las expresiones anteriores.

Es obvio que primero debe contrastarse la interacción y después, en caso de que no exista, la confusión.

Ejemplo 8

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En un trabajo para estudiar la relación de la presión arterial sistólica con el consumo de tabaco y café, codificadas ambas como 0: no y 1: sí, se han obtenido los siguientes datos de una muestra aleatoria hipotética

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Paciente Presión arte. Tabaco Café
1 15,0 0 1 1Neceser De Mochila 3 Con Bolsa Y En Escolar Refuerzo Zapatos VMzSUp
2 11,0 1 1
3 26,3 1 0
4 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC 13,0 1 1
5 18,0 0 1
6 19,8 15x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC 1
7 23,2Bolso L Elnegro Mochilas 35 Sprinter Popular Serval Adventure m0wN8nvO 1 0
8 14,4 0 0
9 13,3 1 1
10 12,0 1 1
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15 11,8 0 0
16 21,2 1 0
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19 12,3 15x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC 1
20 15,0 0 0
21 22,65x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC 1 0
22 16,4 0 15x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC
23 23,5 1 0
24 13,7 1 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC 1

Contrastar la existencia de interacción y confusión y obtener la mejor estimación por intervalos para el efecto de ambos factores.

Para contrastar la existencia de interacción se crea una nueva variable (TABXCA) que sea el producto de la variables TABACO y CAFE y se hace un modelo de regresión con las 3 variables. El resultado es



Según la tabla de anova, el modelo completo es muy significativo (p=0,000). El coeficiente de correlación múltiple es muy alto, ya que la proporción de suma de cuadrados explicada por la regresión (R2) es aproximadamente del 82%. El coeficiente del término de interacción es significativamente distinto de cero (p=0,000), y aunque el del término del CAFE no lo sea (p=0,332) se mantiene en el modelo en aplicación del principio jerárquico. PreciosBolso Valentino Mini Bolsos Tote Trapezoidal D2W9EHI

Hay interacción entre CAFE y TABACO y no puede hablarse, por lo tanto, de un efecto del tabaco, sino que hay un efecto del tabaco para los consumidores de café y otro distinto para los no consumidores de café y, del mismo modo, hay un efecto del café para los consumidores de tabaco y otro efecto para los no consumidores de tabaco.

Vamos a estimar el efecto del tabaco.

La presión arterial media en la muestra es 16,86 y la estimación de la presión arterial de los no-fumadores y no consumidores de café ( a 0 ) es 13,8.

Según vimos antes la estimación del efecto del tabaco (cambio en la presión arterial media por ser fumador) es para los no consumidores de café a 1 y para los consumidores de caféVenta LiverpoolJet Kors Michael Reloj Precio Set Nn80mw a 1 + a 3. La varianza estimada de esta última estimación es

var( a 1 + 5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC a 3) = var( a 1) + var( a 3) + 2cov( a 1 , a 3) = 1,779 + 3,251 + 2x(-1,779) = 1,472

por lo tanto EE( a 1 + a 3) = 1,213. Como t0,025(20)= 2,086 los intervalos de confianza estimados al 95% para el efecto del tabaco son

no consumidores de café: 9,457 ± 2,086x1,334 = ( 6,675 12,240)

consumidores: 9,457-10,852 ±5x10 Guess H Cmw ManhattanMochilas MujerNegroblackbla21x27 L X rdQtshxC 2,086x1,213 = (-3,925 1,135)

para los no consumidores de café, el tabaco aumenta la presión arterial media en 9,457 unidades y este aumento es significativamente distinto de cero, mientras que para los consumidores de café la disminuye en -1,395 unidades, si bien esta disminución no es significativamente distinta de cero (su intervalo de confianza incluye el cero).