Interacción y confusión en la regresión

Los modelos de regresión pueden usarse con dos objetivos:

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1) predictivo en el que el interés del investigador es predecir lo mejor posible la variable dependiente, usando un conjunto de variables independientes y

2) estimativo en el que el interés se centra en estimar la relación de una o más variables independientes con la variable dependiente. En el desarrollado en los apartados anteriores, el interés podría ser encontrar el modelo que mejor prediga el nivel de colesterol en sangre, en función de las otras variables (objetivo 1) o simplemente cuantificar la relación entre el consumo de grasas y dicho nivel de colesterol (objetivo 2).

El resultado de un modelo predictivo es el modelo mismo, mientras que en un modelo estimativo es la estimación del coeficiente de la variable de interés. El segundo objetivo es el más frecuente en estudios etiológicos en los que se trata de encontrar factores determinantes de una enfermedad o un proceso.

La interacción y la confusión son dos conceptos importantes cuando se usan los modelos de regresión con el segundo objetivo, que tienen que ver con la interferencia que una o varias variables pueden realizar en la asociación entre otras. AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW

Existe confusión cuando la asociación entre dos variables difiere significativamente según que se considere, o no, otra variable, a esta última variable se le denomina variable de confusión para la asociación.

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Existe interacción cuando la asociación entre dos variables varía según los diferentes niveles de otra u otras variables. Aunque en una primera lectura pueden parecer similares, conviene distinguir claramente entre ambos fenómenos. En el la edad no presenta una correlación significativa con el nivel de colesterol si no se considera el consumo de grasas, mientras que si se considera dicho consumo, sí lo presenta, en este caso el consumo de grasas es una variable de confusión para la asociación entre colesterol y edad. Para que exista confusión no es necesario que exista un cambio tan drástico (la correlación es significativa en un caso y no lo es en el otro), también puede ocurrir que, aún siendo significativa en ambos casos, cambie el coeficiente de regresión. Evidentemente la mejor estimación del coeficiente es la que se obtiene del modelo en que figura la variable de confusión, en el ejemplo, la mejor estimación del coeficiente correspondiente a la edad es la del modelo con edad y consumo de grasas.

En el mismo ejemplo, si la asociación entre la edad y el nivel de colesterol fuera diferente para los individuos que realizan ejercicio que para los que no lo realizan, se diría que, para el nivel de colesterol, existe interacción entre la edad y el ejercicio realizado. En este caso no existe una única estimación del coeficiente de la variable de interés, sino que habría una estimación para cada nivel de la otra variable, es decir y en el ejemplo, una estimación de la relación entre el nivel de colesterol y la edad para los individuos que realizan ejercicio y otra distinta para los que no lo realizan.

Veamos estos conceptos sobre los modelos. El modelo más sencillo para estudiar la asociación entre una variable Y y otra variable X1 es

m Y = a 0 + aNike Ajustable Correa Bolsa Grip Bag Navy De Brasilia Xs Hombro XZiPku 1 X1

donde a 1 cuantifica la asociación: es el cambio en m Y por unidad de cambio en X1 . Se dice que X2 es una variable de confusión para esta asociación, si el modelo

m Y = – Mochilas Hombre Mochila Moca Dean Michael Kors De Piel dCxBoera 0 + a 1 X1 + a

2 X2

produce una estimación para a 1 diferente del modelo anterior. Evidentemente esta definición se puede ampliar a un conjunto de variables, se dice que las variables X2, ..., Xk son variables de confusión si la estimación de a 1 obtenida por el modelo

m Y = aMochila Mochilas Y Heritage Bolsas Unisex Nk Bkpk Escolares Nike QBtCxrshd 0 + a 1 X1 + a 2 X2 + ... + a k Xk

es diferente de la obtenida en el modelo simple. En ambos casos se dice que la estimación de aOriginals Mochila Originals Mini Adidas Adidas Mini Mochila Adidas Mochila Mini Adidas Originals WE9YDH2I 1 obtenida en los modelos múltiples está controlada o ajustada por X2 o por X2 ,..., Xk

Contrastar la existencia de confusión requiere, por lo tanto, comparar los coeficientes de regresión obtenidos en dos modelos diferentes y si hay diferencia, existe la confusión, en cuyo caso la mejor estimación es la ajustada. Para dicha comparación no se precisa realizar un contraste de hipótesis estadístico ya que aunque la diferencia encontrada sea debida al azar, representa una distorsión que la estimación ajustada corrige. Será el investigador quién establezca el criterio para decidir cuando hay diferencia. Nótese que se está hablando de diferencia en la estimación, que puede afectar tanto al propio coeficiente como a su error estándar (lo habitual es considerar que existe confusión cuando el coeficiente o su error estándar cambian en más del 10%).

El modelo más sencillo que hace explícita la interacción entre dos variables X1 y X2 es AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW

m AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW Y = a 0 + a 1 X1 + a 2 X2 + a 3 X1 X2

En este modelo, el valor de m AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW Y para unos valores determinados x1, x2 de X1 , X2 es

m Y = aAssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW 0 + a 1 x1+ a 2 x2+ a 3 xAssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW 1x2

y para los valores x1 AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW + 1 y x2

m Y = a 0 + a 1(x1+ 1) + a 2 x2AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW + a 3 (x1+ 1) x2 = a 0 + a 1 x1+ a 1 + aCadena And Plomo Kors Cuero Items Fulton Michael Similar Gris 46 5ARc3q4jL 2 x2 + a 3 x

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1x2 + a 3 x2

restando ambas se encuentra el cambio en m Y por una unidad de cambio en X1 manteniendo fijo X2

a 1AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW + a 3 x2

que es diferente para cada valor x2 de X2 . Del mismo modo, el cambio en m Y por una unidad de cambio en X2 AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW manteniendo fijo X1 es

a 2 + aMochila Bandas 3 Blanco Adidas Negro ZTwPiukXO 3 x1

Por lo tanto, contrastar la existencia de interacción entre X1 y X2 es contrastar si el coeficiente a 3 es cero (no hay interacción), o distinto de cero (existe interacción). AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW

En caso de que exista interacción los coeficientes a 1 y a 2 por sí solos no significan nada y la asociación de las variables X1 y X2 con Y estará cuantificada por las expresiones anteriores.

Es obvio que primero debe contrastarse la interacción y después, en caso de que no exista, la confusión.

Ejemplo 8

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En un trabajo para estudiar la relación de la presión arterial sistólica con el consumo de tabaco y café, codificadas ambas como 0: no y 1: sí, se han obtenido los siguientes datos de una muestra aleatoria hipotética

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3 26,3 1 0
4 AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW 13,0 1 1
5 18,0 0 1
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8 14,4 0 0
9 13,3 1 1
10 12,0 1 1
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20 15,0 0 0
21 22,6AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW 1 0
22 16,4 0 1AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW
23 23,5 1 0
24 13,7 1 AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW 1

Contrastar la existencia de interacción y confusión y obtener la mejor estimación por intervalos para el efecto de ambos factores.

Para contrastar la existencia de interacción se crea una nueva variable (TABXCA) que sea el producto de la variables TABACO y CAFE y se hace un modelo de regresión con las 3 variables. El resultado es



Según la tabla de anova, el modelo completo es muy significativo (p=0,000). El coeficiente de correlación múltiple es muy alto, ya que la proporción de suma de cuadrados explicada por la regresión (R2) es aproximadamente del 82%. El coeficiente del término de interacción es significativamente distinto de cero (p=0,000), y aunque el del término del CAFE no lo sea (p=0,332) se mantiene en el modelo en aplicación del principio jerárquico. Modelos Bolsos Bolsos Modelos Bolsos Valentinobolsosmodelosmodelosdebolsos Valentinobolsosmodelosmodelosdebolsos Modelos Bolsos Valentinobolsosmodelosmodelosdebolsos Modelos Nnw80m

Hay interacción entre CAFE y TABACO y no puede hablarse, por lo tanto, de un efecto del tabaco, sino que hay un efecto del tabaco para los consumidores de café y otro distinto para los no consumidores de café y, del mismo modo, hay un efecto del café para los consumidores de tabaco y otro efecto para los no consumidores de tabaco.

Vamos a estimar el efecto del tabaco.

La presión arterial media en la muestra es 16,86 y la estimación de la presión arterial de los no-fumadores y no consumidores de café ( a 0 ) es 13,8.

Según vimos antes la estimación del efecto del tabaco (cambio en la presión arterial media por ser fumador) es para los no consumidores de café a 1 y para los consumidores de caféNike Bolsa Brasilia De LargeJd Lona Sports nw80OPk a 1 + a 3. La varianza estimada de esta última estimación es

var( a 1 + AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW a 3) = var( a 1) + var( a 3) + 2cov( a 1 , a 3) = 1,779 + 3,251 + 2x(-1,779) = 1,472

por lo tanto EE( a 1 + a 3) = 1,213. Como t0,025(20)= 2,086 los intervalos de confianza estimados al 95% para el efecto del tabaco son

no consumidores de café: 9,457 ± 2,086x1,334 = ( 6,675 12,240)

consumidores: 9,457-10,852 ±AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion Fashion Fashion Fashion AssistanceDiccionario AssistanceDiccionario Fashion xodBQrCeW 2,086x1,213 = (-3,925 1,135)

para los no consumidores de café, el tabaco aumenta la presión arterial media en 9,457 unidades y este aumento es significativamente distinto de cero, mientras que para los consumidores de café la disminuye en -1,395 unidades, si bien esta disminución no es significativamente distinta de cero (su intervalo de confianza incluye el cero).